Звичайні диференціальні рівняння
Для лінійного однорідного диференціального рівняння n- го порядку
Сукупність n лінійно незалежних розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння n -го порядку y1 (x), y2 (x). yn (x) називається фундаментальною системою розв'язків рівняння.
Для лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами існує простий алгоритм побудови фундаментальної системи рішень. Будемо шукати рішення рівняння у вигляді y (x) = exp (lx):
exp (lx) (n) + a1 exp (lx) (n- 1) +. + An- 1 exp (lx) '+ an exp (lx) =
= (L n + a1 l n -1 +. + An- 1 l + an) exp (lx) = 0,
тобто число l є коренем характеристичного рівняння
l n + a1 l n -1 +. + An- 1 l + an = 0.
Ліва частина характеристичного рівняння називається характеристичним многочленом лінійного диференціального рівняння:
P (l) = l n + a1 l n -1 +. + An- 1 l + an.
Таким чином, завдання про рішення лінійного однорідного рівняння n -го порядку з постійними коефіцієнтами зводиться до вирішення алгебраїчного рівняння.
ПРИКЛАД 1. Фундаментальна система рішень і спільне рішення для випадку простих дійсних коренів.
ПРИКЛАД 2. Фундаментальна система рішень і спільне рішення для випадку кратних дійсних коренів.
ПРИКЛАД 3. Фундаментальна система рішень і спільне рішення для випадку п простих комплексних коренів.
ПРИКЛАД 4. Фундаментальна система рішень і спільне рішення для випадку простих комплексних коренів. Уявні коріння.
ПРИКЛАД 5. Фундаментальна система рішень і спільне рішення для випадку кратних комплексних коренів.
ПРИКЛАД 6. Рішення задачі Коші.