Єврейські завдання, математика, яка мені подобається
Напевно, багатьом відомо, що за радянських часів в хороші вузи брали не всіх. Кого не брати, вказувалося зверху, це могло змінюватися (так, наприклад, це могли бути іногородні дівчата). Однак майже завжди і майже скрізь не брали абітурієнтів, які мали "негарну" національність, інакше кажучи, були євреями. Про це написано у В.В. Ткачука в книзі "Математика абітурієнту '', про це зараз багато говорять. Ось і дана історія теж про це.
Просто не взяти людину в вуз через неправильну національності було не можна, тому абітурієнту давали таке завдання, щоб він її свідомо не вирішив, так званий "труну ''. Зрозуміло, ця задача повинна була мати елементарне рішення, так щоб не було до чого причепитися.
Таня Хованова в 1975 році була в команді, яка їхала від Радянського Союзу на Міжнародну олімпіаду школярів з математики. Хлопців готували до олімпіади на зборах. Валерію Сендерову, який в той час викладав в одній з кращих московських спеціалізованих математичних шкіл, з друзями вдалося зібрати деякі єврейські завдання - з тих, що використовувалися для огорожі вузів від небажаних студентів. Ці завдання було запропоновано вирішити команді наших найсильніших школярів. Протягом місяця хлопці намагалися вирішити завдання. Їм вдалося вирішити лише половину з них. Це говорить про складність "єврейських завдань" (назва не моє, так назвала їх Таня Хованова).
Зрозуміло, зараз ці завдання вже не здаються такими складними. Методи їх вирішення розповідаються дітям, особливо тим, хто готується до олімпіад з математики. Однак варто врахувати, що такі завдання могли пропонуватися вступнику одна за одною, до тих пір, поки якусь із них він не вирішував.
А тепер кілька алгебраїчних "єврейських завдань", щоб ви могли їх теж повирішувати.
Завдання 1. Вирішіть наступне нерівність для позитивних:
Зауважимо, що. Зробимо заміну змінної
і монотонно убуває з ростом.
Для допустимих значень
Поділимо обидві частини нерівності на:
З огляду на монотонне спадання і те, що
Завдання 2. Знайдіть всі речові, що задовольняють рівняння
Тоді рівняння перетвориться до виду
Так як і через один одного виражаються за допомогою однієї і тієї ж монотонної функції, маємо, звідки
Коріння останнього рівняння знаходяться, якщо зауважити, що задовольняє цьому рівнянню.
Завдання 3. Вирішіть рівняння
Мені, на жаль, свого часу теж довелося випробувати на собі кілька з таких «єврейських» завдань.
На вигляд ці завдання можуть здатися зовсім нескладними.
Але це тільки на вигляд ...
Ось дві з таких завдань.
ЗАВДАННЯ 1.
Скільки рішень має наступна система рівнянь?
x ^ 2 + y = 7 \\
x + y ^ 2 = 11
\ End "title =" \ begin
x ^ 2 + y = 7 \\
x + y ^ 2 = 11
\ End "style =" vertical-align: -23px; border: none; "/>
ЗАВДАННЯ 2.
Скільки коренів має таке рівняння?
Другу задачу дав мені декан математичного факультету на моєму усному вступному іспиті.
При цьому він додав:
- Якщо ти не вирішиш це завдання, тобі буде дуже погано.
Після такого "дружнього" напуття настрій у мене було, м'яко кажучи, не зовсім бадьорим.
Зовсім випадково, мені вдалося вирішити цю задачу (хоча далеко не відразу).
.
Лише додам для тих, хто захоче вирішувати ЗАВДАННЯ 2, що це рівняння має рівно 63 кореня (!)
Перепрошую, помилився при наборі другого завдання.
Там повинно бути таке рівняння:
Для випускника школи, та й взагалі для людини, яка ніколи в житті з такими завданнями не стикався, вони дійсно дуже складні. А зараз ці завдання справді здаються простіше, тому що різних ідей в елементарній математиці не нескінченна кількість, а багато ідей спеціально готуються до вступу школярам розповідають.
Взагалі кажучи, для школяра, якому ніколи в житті не показували методів вирішення олімпіадних завдань, навіть завдання регіонального етапу, думаю, будуть дуже складні.
Майже повністю з Вами згоден.
.
Єдино, з чим, можливо, не зовсім погоджуся, так це з твердженням, що:
`
"Різних ідей в елементарній математиці не нескінченна кількість".
А якщо сюди додати слово "відомих"?
Тоді, безумовно, погоджуся.
Правда, отриману фразу можна буде сформулювати більш коротко:
.
"Різних відомих ідей в математиці не нескінченна кількість".
`
Або ще коротше:
.
"Різних відомих думках не нескінченна кількість".
Прошу вибачення, що встрявати, та ще так пізно, але на це журнал натрапила зовсім недавно.
Чесно намагаюся зрозуміти, в чому проблема першого завдання? Або там теж помилка закралася? Приблизний графік (навіть дуже приблизний, який менше хвилини малюється) моментально дає 4 рішення.
Ви абсолютно праві, що це завдання легко вирішити за допомогою графіків.
.
Але це завдання пропонувалася давно.
Тоді такого роду завдання практично не розглядалися в шкільній програмі.
Тому все вирішували це завдання пішли стандартним шляхом. Вони чесно висловили одну змінну через іншу. Підставили результат в інше рівняння.
І там - застрягли.
.
Я впевнений, що і зараз дуже багато учнів (і не тільки, на жаль) будуть намагатися вирішувати також.
І зовсім небагато знайдеться таких, хто згадає про графічному методі.
Тим більше, що система виглядає, на перший погляд, дуже просто.
Зрозуміло.
Мене готували на мехмат (20 з гаком років тому), тому графічне представлення чого завгодно в'їлося під шкіру для якраз такого типу завдань - "скільки рішень". Та й для багатьох інших.
Цікаво буде на роботі дати. Та й ученічкам підкинути.
2 disputant:
І чому у нас (київський університет) навчалося стільки євреїв.
Напевно, просто не були тупими, ось і все?
Бо не вирішити таку простоту, як sin (x) = x / 100 - й вказати коріння, а сказати, скільки їх - це таки треба тільки національними питаннями голову заповнити, а не математикою.
Замість того, щоб іронізувати ( "не вирішити таку простоту, як sin (x) = x / 100 - й вказати коріння, а сказати, скільки їх - це таки треба тільки національними питаннями голову заповнити, а не математикою" і т.п. ), краще покажіть рішення.
Буде велика користь для учнів.
3 Олександр:
Лож! Всі євреї мають вищу освіту і так далі.
Олександр, Ви знаєте всіх євреїв? Ну і Тмутараканське заборостроітельний інститут теж дає вищу освіту
4 Єлизавета Олександрівна Калініна:
Чесно кажучи, зовсім не хотілося зводити все до дискусії про антисемітизм. Ці завдання були приведені як приклад досить складних задач, які давали "на завал". Особисто знала свого часу іногородню дівчину (зовсім не єврейку), яка на усному іспиті потрапила до столу, від якого з "трійкою" вийшли, здається, двоє людей ...
Для чого потрібні всі рішення єврейський завдань? Де я можу їх застосувати? Розігнати тугу або витратити дорогоцінний час?
Мені здається, це залежить від Вас. Напевно, при такій постановці питання, як у Вас, Вам вони не потрібні ні для чого