Багатовимірні простору поняття і види
і ділить його навпіл. Такий рух простору називається симетрією відносно прямої
, (Це окремий випадок повороту, коли кут повороту
в) твір повороту на перенесення, вектор якого паралельний осі повороту, називається гвинтовим рухом. Поворот і перенос- рух I роду;
г) твір повороту на відображення від площини
, перпендикулярній осі повороту, називається поворотним відображенням. Очевидно, це рух II роду. Ось s повороту, кут # 966 ;, площину
називаються відповідно віссю, кутом, площиною, і центром поворотного відображення.
Розглянемо окремий випадок поворотного відображення, коли
. Легко помітити, що в цьому русі кожна точка
переходить в симетричну їй щодо точки Про точку
. Рух простору, що володіє цією властивістю, називається центральною симетрією (або відображенням точки).
. Твір повороту на кут # 966; навколо осі
на відображення від точки Про є поворотний відображення на кут
Віссю, площиною і центром цього поворотного відображення служать відповідно
переводить кожну точку # 924;'' в таку точку # 924; '. що має місце рівність (7), тобто перетворення d зберігає відстань між будь-якими двома точками. Отже, d = f
-рух. Звідси f = d
Слідства. 1) В подобі зберігається відношення трьох точок; отже, відрізок переходить в відрізок, промінь в промінь;
2) в подобі кут переходить в конгруентний йому кут;
- площину переходить в
Нехай дано подобу з коефіцієнтом
Візьмемо будь-якої ортонормованій репер R =
, де g - гомотетия з центром О і коефіцієнтом k. а d-рух. довільна точка # 924; (
) Перейде в гомотетии g в таку точку # 924;'' (
Рух d переводить точку # 924;'' в точку # 924; '= d (# 924;'') = f (# 924;). якщо
- координата точки # 924;''. то, як відомо,
Так виражаються в ортонормированном репере R координати точки # 924; '= f (# 924;) через координати точки # 924; в подобі f.
Квадрік в евклідовомn- просторі.
1.Пусть в евклідовому просторі Еn дана квадрика Q, певна в деякому ортонормированном репере
Сукупність старших членів
визначає квадратичну форму на просторі переносів V. Ми можемо перейти до такого ортонормированном базису
, в якому квадратична форма
має канонічний вигляд:
Де r - ранг форми
- характеристичні корені її матриці
. Отже, в репере
квадрика Q матиме рівняння:
Поступаючи далі, як і в разі квадрік в афінному просторі, ми отримаємо ті ж канонічні рівняння квадрік, але не отримаємо (взагалі кажучи) їх нормальних рівнянь, так як необхідна для цього заміна координатних векторів
тут неможлива (вектори нового репера повинні бути одиничними) отже, в теорії квадрік в евклідовому просторі Еn основну роль грають канонічні рівняння цих квадрік.
Нехай квадрика Q1 визначається в ортонормированном репере R1 канонічним рівнянням:
f (x 1. x 2. ..., x n) = 0, (*)
а квадрика Q2 має в ортонормированном репере R2 канонічне рівняння:
g (x 1. x 2. ..., x n) = 0. (**)
Легко бачити, що квадрік Q1 і Q2 конгруентний тоді і тільки тоді, коли існує така підстановка букв x 1. x 2. ..., x n. яка переводить рівняння (*) в рівняння (**). Так на площині Е2 гіперболи
2. Розглянемо квадрік в тривимірному евклідовому просторі Е3. В афінному просторі А3 їх існує 17 видів. Відповідним вибором ортонормированного репера в просторі Е3 ми наведемо рівняння квадрік
до одного з цих 17 видів. В отриманих рівняннях коефіцієнти позитивні. поклавши
ми запишемо ці рівняння так:
Протягом досить тривалого часу і математики і фізики були переконані, що геометрія Евкліда дає єдино правильне опис властивостей реального простору. Першим виступив з повідомленням у пресі про відкриття нової - неевклідової геометрії Н.И.Лобачевский.
Починаючи з другої половини XIX століття, дослідження найбільших вчених того часу показали, що неевклидова геометрія є системою логічно настільки ж бездоганною і внутрішньо несуперечливої, як і система Евкліда.
Евклідова геометрія виникла як відображення фактів дійсності. Геометрія n- мірного евклідового простору можна розглядати як приклад абстрактної геометричної теорії. Вона будується шляхом простого узагальнення основних положень звичайної геометрії.
Застосування геометрії Евкліда представляє саме звичайне явище всюди, де визначаються площі, обсяги. Вся техніка, оскільки в ній грають роль форми і розміри тіл, користується евклідової геометрією. Картографія, геодезія, астрономія, всі графічні методи, механіка немислимі без геометрії. Глибоке застосування евклідової геометрії представляє геометрична кристалографія, яка послужила джерелом і областю застосування теорії правильних систем фігур.
1) Атанасян Л.С. Гуревич Г.Б. «Геометрія» ч.1. М. Просвітництво, 1973р.
2) Атанасян Л.С. Гуревич Г.Б. «Геометрія» ч.2. М. Просвітництво, 1976 р.
3) Атанасян Л.С. Базилев В.Т. «Геометрія» ч.1. М. Просвітництво, 1986 р.
4) Атанасян Л.С. Базилев В.Т. «Геометрія» ч.2. М. Просвітництво, 1987 р.
5) Атанасян Л.С. Атанасян В.А. «Збірник завдань з геометрії» ч.1. М. Просвітництво, 1973р.
6) Атанасян Л.С. «Збірник завдань з геометрії» ч.2. М. Просвітництво, 1975 р.
7) Базилев В.Т. «Збірник завдань з геометрії», М. Просвещение, 1980р.
8) Вигодський М.Я. «Довідник з вищої математики», М. 1962р.
9) Строік Д.Я. «Короткий нарис історії математики», М. Просвещение, 1975р.
10) Фетисов Л.І. «Нариси з евклідової і неевклідової геометрії», М. Просвещение, 1965р.
11) Математичний енциклопедичний словник, М. Радянська енциклопедія, 1988р.